离散性随机变量及其分布律

概率论-离散性随机变量及其分布律

《概率论与数理统计》浙大第四版的定义：有些随机变量的全部可能取值是有限个，或者可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。
布朗大学-概率论与数理统计的定义：如果$X$是一个随机变量，存在非负函数$f(x)$和$F(X)$,使得$$ \begin{align} P(X=x) &=f(x) \\ P(X<x) &=F(x) \end{align} $$则称$X$是一个离散性随机变量
- 其中$f(x)$被称为概率质量函数
- 其中$F(x)$被称为分布函数
根据上面的定义，其实可以看出，我们只需要知道离散型随机变量的所有可能取值，以及对应的概率，我们就可以掌握这个离散性随机变量的统计规律。
离散性随机变量的分布律
- 定义：设离散性随机变量$X$所有可能取的值为$x_k(k=1，2，\cdots)$，$X$取各个可能值的概率，即事件$ \{ X=x_k \} $的概率，为$$P\{X=x_k\}=p_k，k=1，2，\cdots$$
- 由上述定义，可知$p_k$满足一下两个条件
  - $p_k\geq0，k=1，2，\cdots$
  - $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{p_k}=1$

伯努利试验：设试验$E$只有两个可能结果，$A$及$\overline{A}$，则称试验$E$为伯努利试验
(0-1)分布(伯努利分布)定义：如果一个随机变量$X$只取值0或1，概率分布是$$P(X=1)=p,P(X=0)=1−p$$则称X符合伯努利分布(Bernoulli)。我们常用伯努利分布来模拟只有两种结果的试验，如抛硬币。